一、局部凸空间中的向量值正则函数（论文文献综述）
刘娜[1]（2021）在《基于神经动力学优化算法的几类非凸优化问题研究》文中研究说明非凸优化问题即具有非凸目标函数或非凸约束集的优化问题。机器学习、压缩感知、数据挖掘等领域中许多重要的实际问题均可建模为非凸优化问题。然而,凸性的缺失给此类问题的算法构造及收敛性分析带来了挑战。近年来,非凸优化问题的算法探究吸引了学者们的广泛关注。神经动力学优化算法因其具有大规模并行计算的能力,可以更好地适应实时求解的需求。基于此,本文主要研究四类不同的非凸优化问题,并针对性地提出可以高效求解的神经动力学优化算法,具体研究内容如下。1.针对一类带有仿射等式及凸不等式约束的非光滑非凸优化问题,提出一种具有辅助函数的非自治神经网络。引入一个基于不等式约束域结构设计的辅助函数,借助于其良好性质,消除了许多文献中要求优化问题的不等式约束域有界及目标函数在等式约束域下方有界的限制。此外,证明了所提出的神经网络从任意初始点出发的状态解收敛于该非凸优化问题的稳定点集。特别地,当目标函数伪凸时,该神经网络的状态解全局收敛到相应的伪凸优化问题的一个最优解。2.针对一类带有非凸不等式约束的非光滑非凸优化问题,提出一种基于光滑化技术的神经网络。通过对目标函数进行光滑化处理,避免了已有文献中需要目标函数是光滑或非光滑正则的弊端。此外,为了克服约束函数非凸性带来的分析困难,引入了一个硬限幅函数。基于此,证明了该神经网络从可行域出发的状态解的任意聚点为所考虑的非凸优化问题的稳定点。当目标函数和不等式约束函数为一些广义凸函数时,证明了该神经网络的状态解收敛到对应的广义凸优化问题的一个最优解。与一些相关的神经网络相比,该模型不包含需要预先估计的惩罚参数,且不依赖于一些额外的假设条件,例如,目标函数强制;Slater条件成立等。3.针对一类约束复变量非光滑伪凸优化问题,提出一种复值神经网络。复数域结构的复杂性为复变量优化问题的求解带来了很多困难。目前,现有大多数的算法只局限于复变量光滑凸优化问题。本文基于CR微积分及非光滑理论,给出了有关复变量实值函数的非光滑分析。进而证明了所提出的复值神经网络从任意初始点出发的状态解均收敛到该优化问题的一个最优解。与已有相关复值神经网络相比,该神经网络适用性更为广泛且计算复杂度更低。4.针对一类约束分布式非凸优化问题,提出一种基于偏p-次幂重构的神经网络。首先,为了消除所考虑的非凸优化问题的对偶间隙,考虑对其不等式约束作用p-次幂变换。其次,基于该变换后的等价问题,给出一种分布式神经网络。证明了该神经网络的状态解是输出一致的,且局部收敛到所考虑的约束分布式非凸优化问题的一个严格局部最优解。此外,值得指出的是,该算法不需要智能体间交换各自的目标函数或约束函数等隐私信息,有助于智能体间的隐私保护。
窦欣元[2]（2021）在《切片超复分析的整体理论和多元理论》文中研究说明本文主要研究切片超复分析的整体理论和多元理论。四元数超复分析,于2006年由Gentili和Struppa引入,该理论已经得到了迅猛发展,复分析中的许多理论已经推广到四元数超复分析。该理论还产生了S谱理论,从而在四元数量子物理中有着重要的应用。然而,该理论还缺少整体理论和十六元数理论。这正是本文的研究内容。超复分析的整体理论起源于正则函数的延拓理论。它是单复变黎曼曲面理论在四元数超复分析中的推广。该理论的早期研究受到了极大阻碍,这一阻碍来自于早期的一个错误研究结果。该结果认为定义在H中S域上的任何切片正则函数都可以切片正则开拓到一个轴对称S域上。本文给出了这一结论的反例,从而开启了切片超复分析整体理论的研究。我们的结果表明,并不是对每一个定义在S域上的切片正则函数都能在H中找到它的最大定义域。更加重要的是,我们发现切片超复分析的拓扑不再是欧氏拓扑。该理论中相应的黎曼曲面理论的类似物产生了一种具体的广义orbifold的理论。在超复分析的整体理论的研究中,我们建立了非常重要的表示公式。这一公式与古典情形不同,它依赖于延拓的道路。我们的研究局限于黎曼域在四元数切片分析中的推广。切片黎曼曲面理论尚待进一步的研究。多元超复分析理论的研究已有结果甚少。在该理论的研究中,我们提出了一种新的方法,这就是将代数中的虚数单位用复结构替代。该方法使得我们将已有的关于交错代数的复分析理论,推广到十六元数,甚至是Cayley-Dickson代数情形。在多元超复分析的研究中,我们采用两步走的策略。这就是将问题归结于多复变以及表示公式理论。我们的方法产生了弱的超复分析理论,这有别于已有的依赖于根函数的强超复分析理论。在表示公式理论的建立中,我们遇到了极大的技术性困难,这就是所考虑的代数中不同的两个虚单位之差可能是不可逆的。我们借助于Moore-Penrose逆解决了这一问题。我们的多元超复分析理论是多复变在高维以及非交换乃至非结合领域的推广,丰富了古典的四元数切片分析理论。值得强调的是该理论的自然拓扑不再是欧氏拓扑,虽然在每一个切片的叶面上它就是古典的复流形理论。该理论启发我们推广多复变的全纯域理论,在切片超复分析中建立相应的理论。该理论还启发我们将Dolbeault复形理论推广到切片超复分析理论。
刘云程[3]（2021）在《三类带结构的非凸非光滑优化问题算法研究》文中指出最近,在数据处理与降维、无线传感器网络、信号与图像处理和机器学习等应用领域中涌现出大量带结构的非凸非光滑优化问题,如弱凸复合优化问题、大规模非凸非光滑问题和约束稀疏优化问题.针对这些非凸非光滑优化问题,如何充分利用问题的特殊结构,设计简单、高效且收敛的算法是最优化领域的一个热门课题.本文针对三类带结构的非凸非光滑优化问题,基于增量算法、光滑化方法、Moreau包络函数以及邻近梯度算法等设计出具体算法,并研究相应算法的收敛性和复杂度.首先,本文提出一个可变光滑增量聚合梯度（Variable smoothing incremental aggregated gradient,VSIAG）算法求解弱凸复合优化问题,该问题的目标函数为多个非凸光滑函数与一个非光滑弱凸函数和一个线性算子的复合函数之和.一方面,基于Moreau包络函数逼近技巧对非光滑弱凸函数进行光滑化处理,并结合增量聚合梯度算法,我们提出了 VSIAG算法.相比已有的可变光滑法,该算法每一步迭代不需要计算整个光滑项的梯度,从而降低了梯度的复杂度.另一方面,我们构造了一个辅助函数序列,用以证明迭代序列的充分下降性,进而获得了算法的收敛性结果,最后证明了 VSIAG算法的一个O（∈-3）复杂度.其次,本文研究了邻近增量聚合梯度（Proximal incremental aggregated gradient,PIAG）算法求解多个非凸光滑函数与一个非光滑非凸函数之和的优化问题.利用误差界条件,我们建立了 PIAG算法的线性收敛率,且松弛了现有文献中关于非光滑函数的凸性假设,需要非光滑函数具有凸性的假设条件.值得注意的是,在证明过程中我们构造了一个新的Lyapunov辅助函数序列,来揭示PIAG算法的收敛性.我们证明了 Lyapunov序列具有Q线性收敛性,并利用这个结果获得迭代序列和函数序列的R线性收敛性.应用Logstic回归问题的数值实验验证了算法的有效性.最后,本文考虑了非凸非光滑约束稀疏优化问题的邻近可变光滑法,其目标函数为多个非凸光滑函数、一个非光滑弱凸函数与一个线性算子的复合函数以及一个非光滑凸函数之和.我们首先讨论了非凸非光滑约束稀疏优化问题的特殊情况,其目标函数由一个非凸光滑函数、一个非光滑弱凸函数与一个线性算子的复合函数以及一个非光滑凸函数组成.针对该问题,我们提出了可变光滑邻近梯度（Variable smoothing proximal gradient,VSPG）法,获得了该算法的一个O（∈-3）复杂度.基于该方法,我们研究了非凸非光滑约束稀疏优化问题,提出了可变光滑邻近增量聚合梯度（Variable smoothing proximal incremental aggregated gradient,VSPIAG）法,并证明了该算法的次线性收敛率.VSPG和VSPIAG方法只需要分别计算两个非光滑函数的邻近算子,而不需要计算两个函数之和的邻近算子,从而降低了问题的求解难度.最后,我们通过对非负稀疏主成分分析的数值实验来验证VSPIAG算法的有效性.
李豪[4]（2018）在《多目标学习与优化理论及应用》文中认为随着互联网技术和信息技术的发展,机器学习技术在健康医疗,公共交通,在线购物,国家安全等方面都有着广泛的应用。近年来,学者们指出大部分机器学习问题拥有多个目标。例如,在监督分类中,既希望分类模型在训练集上的误差最小又希望模型具有好的泛化性能。传统机器学习技术通常将若干个目标加权聚合成一个目标函数,会面临如何设计合适的正则项和如何选择合适的正则参数的问题。进化多目标优化不需要提前确定正则化参数,旨在获得一组非支配解。通过分析这些解,能够从问题中提取知识然后做出决策,从而选出最终的满意解。此外,机器学习技术也可以用来增强多目标进化算法。受多任务学习启发的多任务优化技术旨在利用相关任务的关联信息来同时求解多个任务。本博士论文主要从优化和学习两个维度对进化多目标理论和应用展开研究。一方面,将机器学习中的自步学习问题建模成多目标优化问题,并利用多目标粒子群优化算法进行求解。另一方面,建立了一个进化多任务框架,利用一个种群来同时优化多个稀疏重建任务。主要研究内容包括以下几个部分:（1）自步学习在训练的过程中会先学习简单的样本,然后再将复杂的样本添加到训练过程中。它使用一个权重向量来度量样本的难易程度,并使用不断增大的自步参数来控制学习新样本的速度。因此,自步学习会获得一组解,这些解构成了自步学习问题的解路径。但是,选择合适的自步参数和确定何时停止这个增长的过程是非常困难的两个问题。本文提出了一种多目标自步学习模型来同时优化损失函数和自步正则项,从而避免了自步参数的选择。该方法利用基于分解的多目标粒子群优化算法来同时优化这两个目标,从而获得了一组非支配解。最后,决策者可以利用多目标优化的选解工具来选择一个满意解。在矩阵分解问题上的实验表明,该方法有效地解决了自步学习当前存在的问题。（2）近年来,一些有效的自步学习正则算子已经被提了出来,例如,硬权重方法,线性软权重方法,对数软权重方法和混合权重方法。在这些方法中,对数软权重和混合权重方法拥有很复杂的形式,自步参数并不能从正则项里分离出来。因此,对数软权重和混合权重方法并不能用于多目标自步学习方法中。为了解决这个问题,本文提出了一种新的多项式软权重方法。多项式软权重方法拥有更简单的形式,并能够根据问题的需要来调整惩罚的程度。理论研究表明提出的多项式软权重自步正则方法能够代表先前提出的自步正则方法。在动作识别和多媒体事件检测的实验说明,和其它经典权重方法比较,多项式软权重方法能够获得最好的结果。（3）大部分经典的回归或分类等方法能够嵌套在自步学习方法中,从而获得了性能的提升。自步学习利用交替迭代搜索的方法来求解目标函数。当权重变量固定时,自步学习问题转换成了一个拥有加权损失的标准学习问题。本文提出了一种基于自步学习的无监督变化检测算法。该方法利用无监督的方法产生了一个伪训练集。由于伪训练集里包含有很多错误标注的样本,自步学习可以自动地从中学习可靠的样本。本文推导了在加权损失下支持向量机的相关公式。在基于自步学习的支持向量机中,权重控制了支持向量系数的上边界。之后,本文又推导了基于自步学习的人工神经网络的相关公式。从中可以分析出,样本权重能够动态地控制学习速率。在两组变化检测数据集上的实验表明,基于自步学习的变化检测方法对噪声较为鲁棒且能够获得满意的变化检测结果。（4）受多任务学习的启发,进化多任务优化旨在揭示进化算法的多任务潜能。为了利用不同任务间相似的稀疏特性,本文建立了一个进化多任务框架,用一个种群来同时优化多个稀疏重建任务。在提出的方法中,进化算法旨在搜索非零元素或者非零行的位置,而不是直接搜索稀疏向量或者矩阵。该方法利用任务内和任务间的遗传迁移来增强属于同一任务或不同任务的遗传材料的交换。该方法决策变量的数目和测量向量的数目无关。因此,该方法能够有效地解决基于多测量向量的稀疏重建问题。（5）稀疏解混模型假设高光谱图像中所有像元都拥有共同激活的光谱特征集。但是,由于高光谱图像通常拥有多个异质的区域,不同区域的光谱特征集会有所不同。因此,在同质的区域内进行稀疏解混会更加有效。本文提出了一种基于多任务稀疏重建的高光谱解混算法。该方法将高光谱图像划分为多个同质的区域。每一个同质区域中的像元更倾向于拥有共同的光谱特征集。该方法将每一个区域内的稀疏解混问题当作一个任务。最后,该方法利用提出的多任务稀疏重建方法来同时优化这些稀疏解混任务。在仿真和标准数据集上的实验表明,该方法能够获得比对比算法更好的性能。
徐正华[5]（2017）在《Slice正则函数论》文中研究指明本文主要研究复分析在高维非交换代数上的推广,其中包括以下三个方面:（1）slice正则函数的几何函数论;（2）slice正则函数的函数空间论;（3）四元数Hilbert空间中的测不准原理.全文共分为五章.第一章是绪论,介绍了本论文的研究背景和所取得的成果.第二章给出了本论文中常用的符号、概念和结论.第三章主要研究了 slice正则函数的几何函数论.本章首先在四元数slice正则函数中定义了 slice星形函数,slice近凸函数,slice螺形函数,证明了 Bieberbach猜测对slice近凸函数是成立的,对slice星形函数建立了 Fekete-Szego不等式、增长定理、掩盖定理和偏差定理.其次,本章研究了.类交错代数上slice正则函数的增长定理和偏差定理.然后,针对四元数slice正则函数建立了三类Bloch-Landau型定理并推广了经典的Bernstein不等式.最后,本章围绕Schwarz引理在高维中的推广.特别地,研究了 slice Clifford分析以及多次调和函数中的Schwarz引理及其边界行为.第四章研究了 α-Bloch函数在高维空间中的两类推广.一方面,研究了无限维Hilbert空间单位球上的全纯α-Bloch函数,定义了四种范数并证明了其等价性.作为应用,建立了无限维Hilbert空间中的Hardy-Littlewood定理.另一方面,研究了四元数单位球上的正则α-Bloch函数,建立了相应的Forelli-Rudin估计,Hardy-Littlewood定理,并对其对偶空间进行了研究.第五章建立了四元数Hilbert空间中的测不准原理.
马鹏飞[6]（2015）在《旋转锥互补函数及旋转锥规划内点算法研究》文中研究表明锥规划不仅具备丰富的表达能力和良好的结构特征,而且具备强有力的对偶理论以及有效的求解算法,是近年来国际研究者关注的热点课题之一.2000年之前,锥规划是指在对称锥上的优化,包括线性规划,二阶锥规划和半正定矩阵锥规划.近年来由于数据挖掘和图像处理等实际问题能够描述成一个非对称锥规划,非对称锥规划成为国际优化界的前沿研究课题之一.旋转锥规划是一类非对称锥规划,是决策变量取自有限个旋转锥的笛卡尔积与仿射空间的交和目标函数是线性函数的一类优化模型.旋转锥规划能够描述多手指机器人最优握力的工程问题.本博士学位论文主要包括对旋转锥互补函数及求解旋转锥规划的内点算法的研究.具体的工作包括以下三个部分:首先,研究了旋转锥上的互补函数.一方面,我们提出了一类新的非线性规划互补函数,此互补函数是Fischer-Burmeister函数的一类新推广,并且具有二阶连续可微性.另一方面,基于二阶锥上的向量值函数,证明了所提出的互补函数都可以扩展到旋转锥上成为旋转锥互补函数.因为旋转锥规划的最优性条件是一个旋转锥互补问题,所以能够有效的求解旋转锥互补问题,就能够有效的求解旋转锥规划问题.因此我们的研究为旋转锥规划的求解提供了一种新的途径.其次,提出了求解旋转锥规划问题基于核函数的内点算法.基于旋转锥和二阶锥之间的代数关系,建立了二阶锥和旋转锥之间的一个可逆线性映射.此映射能够把旋转锥和它的对偶锥中的元素映射到二阶锥.基于此线性映射,将旋转锥规划问题转化为一个二阶锥规划问题.借助于二阶锥规划的基于核函数的内点算法,提出了求解旋转锥规划的基于核函数的内点算法.进一步,推导了算法的复杂界,并得到旋转锥规划是多项式时间可解的结论.最后将算法应用到多手指机器人的最优握力的具体实例,通过算法的数值效果验证了算法的有效性.第三,设计了求解旋转锥规划的自协调障碍函数的内点算法.首先构造了旋转锥和它的对偶锥上的自协调障碍函数.然后基于此自协调障碍函数和它们的相关性质,设计了求解旋转锥规划的自协调障碍函数的内点算法.进一步,推导了算法的复杂界,结果说明了算法是多项式时间的.最后测试了一些数值算例,数值试验的结果验证了算法的有效性.
蔡佐威[7]（2014）在《几类基于微分包含的不连续系统的动力学研究》文中提出众所周知,泛函微分包含是泛函微分方程的一般化.为了处理和研究右端不连续的时滞微分方程的解的基本问题及其动力学行为,考虑到给定的向量场不再是光滑的或者是全局Lipschitz的,在经典的微分方程理论体系下的解可能不存在,本学位论文通过Filippov微分包含正规化,重新给出了右端不连续的时滞微分方程的Filippov解和在给定的初始值条件下的解的定义.并在此基础上,我们进一步借助泛函微分包含框架对不连续的变时滞微分方程和泛函微分包含的在Filippov意义下解的基本性质和稳定性问题进行了研究.这些基本问题主要包括：解的局部存在性、解的延拓性、解轨线各种不同的稳定性和收敛性行为（例如,全局渐近或指数稳定性、同步和拟同步性、全局耗散性和鲁棒稳定性）等等.通过对这些基本理论问题的研究,我们在一定程度上推广和改进了右端不连续的时滞微分方程和泛函微分包含理论.然后,我们把所获得的理论性成果应用到神经网络、生物学以及自动控制工程等科学与工程领域.我们主要从两方面着手研究.一是根据现实生产生活中出现的一些不连续现象,我们制定和探讨了不同领域中可由右端不连续微分方程来刻画的各种数学模型.并且通过构造Filippov集值映射（即Filippov正规化）把右端不连续的微分方程转化为微分包含.其二是在Filippov微分包含的框架内,综合运用集值映射的不动点理论、广义的Lyapunov方法、集值分析中的拓扑度理论、矩阵分析、矩阵测度理论和一些广义的不等式、非光滑分析等一些新颖的工具与方法来研究各种动力学行为.所研究的动力学行为主要有（正）平衡点、（正）周期轨、解的各种稳定性等等.本学位论文共分为五章.在第一章中,我们回顾了不连续微分动力系统和微分包含理论的研究历史与发展概况.同时,我们对不连续生物学动力系统和不连续神经网络动力系统的研究历史与现状进行了介绍.最后,我们简要地概述了本文的主要内容与结构安排.在第二章中,我们给出一些基本理论知识.剩下的几章是本文的主要工作,所得主要研究结果如下所述.在第三章中,我们首先推广一类重要的不等式：广义的Halanay不等式.可以说,在处理具有变时滞的泛函微分包含或者具有变时滞的不连续泛函微分方程的稳定性问题时,广义的Halanay不等式是一个非常有效的工具.其次,我们给出了具有单个和多个变时滞的泛函微分包含在Filippov意义下解的定义,然后主要对给定初值条件下Filippov解的延拓性问题进行了讨论,得到了关于解的有效性的两个重要定理.最后,我们借助广义的Halanay不等式着重处理了变时滞的泛函微分包含在扰动意义下Filippov解的稳定性问题.我们不仅通过构造径向无界的辅助函数分析了扰动意义下泛函微分包含的鲁棒耗散性和全局鲁棒稳定性,而且通过引进合适的状态-反馈控制器,研究了扰动意义下泛函微分包含的鲁棒拟同步性问题.在第四章中,我们提出了一个更加现实且更一般的不连续捕获管理策略,并将它引入到着名的Lotka-Volterra竞争系统.借助Filippov微分包含理论、集值映射的锥压缩-拉伸不动点定理、非光滑分析以及广义的Lyapunov方法,我们研究了正周期解的存在性、唯一性和全局渐近稳定性.此外,我们还讨论了捕获解的依测度收敛性.最后,我们也给出了一些推论和数值例子来验证主要结论的有效性.在第五章中,我们主要研究三大类不连续时滞神经网络系统的动力学行为.本章所用的工具和方法涉及到集值映射版本的不动点定理、广义的Lyapunov理论、集值分析中的拓扑度理论、M-矩阵理论、矩阵测度方法、一些广义的不等式技巧及微分包含理论框架等.首先,在不假设神经激励函数的有界性和单调性条件的前提下,我们详尽地分析了具有不连续激励函数和变时滞的细胞神经网络系统的周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性.而且我们也研究了该神经网络模型所对应的自治系统的输出解以依测度的方式收敛到一个输出平衡点以及任意的状态解在有限的时间内收敛到平衡点的性质.其次,我们对一类一般性的具有离散和分布时滞的不连续神经网络系统的周期动力学行为进行讨论.最后,我们建立一个基于忆阻器的双向联想记忆（BAM）的时滞神经网络模型,并研究了该类神经网络系统的全局耗散性和正周期轨的存在性.对这些不连续时滞神经网络系统动力学行为的研究也是对已有结果的推广和改进.
袁洪芬[8]（2012）在《超空间上Dirac型方程解的性质》文中进行了进一步梳理超空间既包含可交换变量又包含反交换变量（Grassmann代数的生成元）,其分别刻画了量子力学中玻色子（bosons）和费米子（fermions）的性质,创立于上世纪后半叶.因此,超空间及其相应的超流形广泛应用于理论物理学中,产生了如超弦论,超引力论等.据我们了解,F. A. Berezin等学者从代数几何学的角度研究超空间B. DeWitt等学者从微分几何学的角度研究超空间.近年来,F. Sommen和H. DeBie等学者从函数理论的角度研究超空间.他们在超空间上建立了Clifford分析的基本框架.在F. Sommen等学者工作的基础上,我们主要研究了超空间上Dirac方程解及其相关函数的基本性质,以及超空间上Dirac型方程解的Almansi型展开及其相关内容.本文共分五章第一章,介绍了本文的研究背景及其主要结果.超空间包含反交换变量,是欧氏空间Rm的推广.据我们所知,历史上,研究超空间的数学方法主要有两种,其一,利用代数几何学的理论,在超空间上引入阶层代数,研究带有层结构的微分流形.其二,利用微分流形的理论,在超空间上定义超微分流形.这两种方法在某种意义下是等价的.近来,F. Sommen等学者在超空间上引入Clifford代数,将Clifford分析的理论推广到超空间上Clifford分析是定义在欧氏空间Rm上取值在Clifford代数中的超复函数理论.相应的,他们研究定义在超空间Rm|2n上取值在标量代数和Clifford代数（标准正交Clifford代数和Weyl代数）张成的代数中的函数理论.他们在超空间Rml2n上定义了广义的微分算子,如超Dirac算子,超Laplace算子及超Euler算子等.构造了超Dirac算子及其高阶Dirac算子的基本解.引入Berezin积分,定义超空间上的积分Clifford分析主要的内容之一是研究Dirac方程的解（即正则函数）的性质,如Stokes定理、C auchy-Pompeiu公式、Morera定理、Painleve定理、唯一性定理等.相应的,他们证明了超空间上的Stokes定理、Cauchy-Pompeiu公式、正则函数的Morera定理等基本定理.在此基础上,我们进一步研究了超空间。第二章,我们讨论了超空间上Dirac方程解及其相关函数的基本性质.首先给出了超空间及其相关定义：向量元,函数空间的定义；广义微分算子的定义；广义积分的定义.其次,利用超空间上正则函数Morera定理,得到了超空间上正则函数的Painleve定理从而扩大了正则函数的定义域；应用超空间上的Fischer分解,得到了超空间上的唯一性定理;由超Dirac算子的定义,得到了超空间上Cauchy-Riemann型方程；运用超空间上算子之间的交换准则（超空间上常用的运算准则）,得到了超空间上的调和函数构造正则函数、超空间上正则函数和调和函数的关系、k-正则函数（k阶Dirac方程的解）和正则函数的关系、k-调和函数（k阶Laplace方程的解）和调和函数的关系；由超空间上Stokes定理,得到了超空间上的高阶C auchy-Pompeiu公式.特别的,当函数f（x）是k-正则函数时,它就是超空间上k-正则函数的Cauchy公式.第三章,受H, Malonek和任广斌等学者研究Clifford分析中的Almansi展开启发,我们研究了超空间上的k-正则函数的Almansi型展开及其应用.超空间上Almansi型展开即将k-正则函数写成正则函数和相应的x幂次的乘积的有限和的形式,从而建立两类函数之间的联系.为超空间上k-正则函数的问题转化为正则函数,正则函数的结论推广到k-正则函数奠定基础.为了得到超空间上k-正则函数的Almansi型展开,我们做了以下准备工作：首先,定义了星型域上的积分算子,微分算子（超Euler算子的推广）.其次,证明这两个算子的互逆关系.然后,讨论了它们保持函数的正则性.最后,证明了在正则函数情形下,高次超Dirac算子,算子xk,以及积分算子复合后是恒等算子.在这些准备工作的基础上,证明这个结论的关键是把要证明的结论转化为k-正则函数空间的直和分解问题,即k-正则函数空间分解成正则函数空间和相应幂次向量元乘积形成的空间的直和.此外,我们还讨论了k-正则函数的Almansi型展开的应用：得到了多重调和函数空间的分解；得到了超空间上齐次多项式函数在星型域上的Fischer分解（球调和函数理论的基础）；由上一章中正则函数的Painleve定理和唯一性定理,得到了超空间上k-正则函数的Painleve定理和唯一性定理.第四章,我们通过构造超空间上微分算子的O-normalized系,讨论了超空间上Dirac型方程解的Almansi型展开.B.A. Bondarenko, V.V. Karachik,任广斌等学者先后研究了关于微分算子的函数f-normalized系,并将其用来研究Almansi展开,偏微分方程及边值问题.我们在超空间上定义积分算子,建立此积分算子和微分算子（超Euler算子的推广）之间的联系,从而构造了超空间上Laplace算子O-normalized系.运用此系得到了超空间上的多重调和方程解的Almansi型展开,从而建立超空间上k-调和函数和调和函数之间的联系.建立了Dirichlet问题（调和方程的边值问题）和Riquier问题（多重调和方程的边值问题）的联系,使得要解决Riquier问题只要解Dirichlet问题即可.此外,我们得到了超空间上的Helmholtz方程的形式解.由于Dirac算子是Laplace算子的因子,因此我们经过更为复杂的运算,得到了超空间上Dirac算子O-ormalized系,由此得到k阶Dirac方程解的Almansi型展开,以及得到了与Helmholtz方程相对应的,修正Dirac方程的形式解.当级数收敛时,此解是古典解.第五章,运用Teodorescu算子相关的Ti算子的性质,我们得到了超空间上k阶Dirac方程解的拟Almansi型展开Teodorescu算子,简称为T算子,是一类奇异积分算子.在复平面上,它又是Cauchy-Riemann算子的（右）逆算子.丁算子是经典Vekua理论的重要组成部分Vekua理论被广泛应用于弹性力学、薄壳理论以及空气动力学等.国内外一些学者先后研究了复平面上的以及高维复空间上的T算子的性质,四元数分析中的T算子的性质,Clifford分析中T算子的性质.特别是,H. Begehr,张忠祥等学者在Clifford分析中定义了Ti算子（T算子的推广）并讨论其基本性质.我们利用Berezin积分,定义了超空间上的Ti算子,建立了Ti算子与Cauchy型积分之间的联系；给出了Ti算子与Ti-1算子之间的关系；得到了非齐次k阶Dirac方程的解；最后也是最重要的结论是得到了超空间上k阶Dirac方程解的拟Almansi型展开,即将超空间上的k-正则函数写成Ti算子作用在相应正则函数的有限和的形式,其中正则函数可由已知的k-正则函数得到.进一步,我们还得到了实现此展开的充要条件.同理,我们又定义了Πi算子,考虑了超空间上k阶Laplace方程解的拟Almansi型展开,超空间上的k-调和函数展开成Пi算子作用在相应调和函数的有限和的形式.
杨贺菊[9]（2010）在《几类奇异积分算子的性质及应用》文中研究说明1878年,W. K. Clifford将高维空间中的几何与代数结合起来,引入了几何代数,后人以他的名字命名为Clifford代数.Clifford代数是一个可以结合但不可交换的代数,Clifford分析这个数学分支就是在Clifford代数An（R）上进行经典的函数理论分析,例如：研究正则函数,超正则函数以及k-超正则函数的基本性质；研究Cauchy型奇异积分算子的性质；研究各种边值问题等等.Clifford分析是实分析和复分析的自然推广.当n=0时,Clifford分析就是实分析；当n=1时,Clifford分析就是单复分析；当n=2时,Clifford分析就是四元数分析.因此Clifford分析是一个活跃的数学分支,它在许多数学领域内都具有重要的理论和应用价值.在经典的函数理论分析中,研究Cauchy型积分的性质是非常重要的,它是解决各类边值问题的基本工具之一.Cauchy型积分是一类奇异积分,它在偏微分方程理论,奇异积分方程理论以及广义函数理论中有着广泛的应用.尤其是在偏微分方程和奇异积分方程的边值问题中,应用Cauchy型积分这个工具可以使得偏微分方程和奇异积分方程的处理显得特别地简练.Cauchy型积分算子的换序问题在奇异积分算子的正则化和奇异积分算子的合成中起着至关重要的作用.有了Cauchy型积分算子的换序公式,我们就可以解决闭光滑流形上具有B-M核的奇异积分方程的各种边值问题.因此Cauchy型积分算子的换序问题是解决许多问题的核心.在单复分析及多复分析中,Cauchy型积分算子的性质和换序问题解决得很彻底并且广泛地应用于弹性力学,流体力学以及高维奇异积分和积分方程中.但是在Clifford分析中,由于Clifford代数的不可交换性,有着同样重要性的Cauchy型积分算子的性质和换序问题却没有得到彻底解决.这给Cauchy型积分算子的合成和正则化带来了很大的挑战,从而影响了Clifford分析中积分方程和偏微分方程边值问题的发展.1998年,黄沙证明了Clifford分析中Cauchy型积分的P-B （Poincare-Bertrand）置换公式,得到了很好的结论.在黄沙工作的基础上,本文另辟蹊径,给出了Clifford分析中累次奇异积分算子在Cauchy主值意义下更具体的一种新定义.然后利用Cauc-hy型奇异积分算子的性质证明了几个比较简单的情况下的两个奇异积分算子的换序公式.接下来又证明了一个关于被积表达式的不等式,即Clifford分析中的函数和微元乘积的不等式.这个不等式在本文中有着重要的意义.最后再利用此不等式和前面的结果证明了Clifford分析中关于一元函数及二元函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B（Poincare-Bertrand）置换公式.另外,本文还研究了一类Rn空间中的高阶奇异Teodorescu算子.通过这类高阶奇异算子,我们可以得到非齐次Dirac方程的解的积分表达式,从而可以解决许多边值问题.本文着重研究了这类高阶奇异Teodorescu算子的有界性,Holder连续性以及它的广义微商.同时还研究了它关于积分区域的边界曲面摄动的稳定性并给出了误差估计.最后用这个算子给出Rn空间中的一个广义Hn方程组的解的积分表达式.全文共包括八个部分：1.绪论.介绍了Clifford分析的历史背景,意义和研究现状,同时简单地介绍了一下我们的工作.2.第一章.讨论了Clifford分析中一个Cauchy型奇异积分算子和普通积分算子的换序问题.首先证明了Clifford分析中两个普通积分算子在Liapunov曲面上的换序公式,然后在此基础上证明了Cauchy型奇异积分算子和普通积分算子的换序公式.证明过程中先证明两个累次积分在Cauchy主值意义下是收敛的,然后将两个累次积分分别分成两部分N1,N2和N1*,N2*,先证明N1=N1*,再证明3.第二章.研究了Clifford分析中两个Cauchy型奇异积分算子的换序问题.先将两个累次积分分别分解为几个Cauchy型奇异积分算子与一个函数的和,从而证明了这两个累次积分是有意义的.然后再分别将两个累次积分分为四个部分,第一部分是挖掉奇点后的区域上的积分,另外几部分是带有奇点的区域上的积分.首先证明第一部分的值相等,再证明剩下的部分的差的极限为零.4.第三章.研究了Clifford分析中一个普通积分算子和以普通积分算子的积分变量为奇点的Cauchy型奇异积分算子的换序问题.首先证明了几个相关的奇异积分算子的性质,并利用这些性质证明了两个累次积分是有意义的.然后巧妙地将积分区域分为几部分,从而将积分算子分成带有奇性的部分和不带奇性的部分.我们证明了带有奇性的部分的极限是零,并且不带奇性的部分相等.这样我们就证明了普通积分算子和以普通积分算子的积分变量为奇点的Cauchy型奇异积分算了的换序公式.5.第四章.研究了Clifford分析中关于一元函数的两个Cauchy型奇异积分算子的换序问题,其中第二个Cauchy型奇异积分算子的奇点是第一个Cauchy型奇异积分算子的积分变量.这个问题的结论与前几章大不相同,这是因为当两个算子换序后,会多出一个函数项,这与复分析中的结果是一致的.在证明过程中,我们首先证明了一个带有微元的不等式.然后利用这个不等式证明了我们所讨论的两个累次奇异积分算子是有意义的.同时利用这个不等式和挖掉奇点的方法证明了换序公式,即Clifford分析中关于一元函数的Cauchy型奇异积分算于的P-B（Poincare-Bertrand）置换公式.6.第五章.利用前面的结果讨论了Clifford分析中关于含有两个高维变量的函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B（Poincare-Bertrand）置换公式.先给出了关于二元函数的Cauchy型奇异积分算子的定义,讨论了累次奇异积分算子的收敛性.然后将累次奇异积分算子分解为几个部分,对不同的部分利用前面的结论证明了关于二元函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B（Poincare-Bertrand）置换公式.7.第六章.研究了Rn空间中的一类高阶奇异Teodorescu算子的性质,分为三块内容：（1）.利用几个不等式证明了这类算子有界性.又通过证明几种特殊情况下这类算子的Holder连续性证明了算子在整个Rn空间中的Holder连续性,同时根据定义得到了它的广义微商.（2）.利用几个重要的不等式研究了这类算子关于积分区域的边界曲面摄动的稳定性并给出了误差估计.（3）.利用变量替换将广义H。方程组转换为一个Clifford分析中向量值的广义Di-rac方程.然后利用高阶奇异Teodorescu算子给出广义Dirac方程的解的积分表达式,从而得到了广义Ⅱn方程组的解的积分表达式.8.结论.总结了论文的结论和有待解决的问题.
边伟[10]（2009）在《微分方程与微分包含的神经优化理论与算法研究》文中研究表明优化问题大量存在于科学和工程应用的许多领域,其中,许多优化问题要求对其进行实时求解。解决实时优化问题一个非常有前途的方法是应用基于电路实现的人工神经网络。基于微分包含,Lyapunov方法,矩阵分析,非光滑分析及变分理论,本文研究了四大类优化问题,分别构造了相应的神经网络,证明了网络解的全局存在唯一性及网络的稳定性,收敛性和精确性,并通过数值算例说明了网络的有效性。所得主要结果如下:1.研究了Rn中两类重要的退化二次优化问题。首先,基于Lagrange函数方法,设计可有效求解带有一般线性约束退化二次凸最小值点问题的神经网络。此网络具有一些很好的性质,如完全稳定和有限时间收敛。在收敛速率方面,该网络的输出轨道关于矩阵Q的非奇异部分是指数收敛的。同时,给出了一个判断目标函数在约束集上的最小值是否为其在Rn上最小值的准则。其次,通过巧妙的分析和变换,把带有混合线性约束的退化二次鞍点问题转变成一个与之等价的退化二次最小值点问题。基于前一部分的理论和方法,构造了一个可有效求解此类鞍点问题的投影神经网络。并给出了网络的完全稳定,有限时间收敛和指数收敛的证明。另外,设计了一个更为简单的网络求解全局退化二次凸鞍点问题。2.研究了Rn中两类重要的非光滑凸优化问题。首先,基于精确的罚函数方法,构造一个微分包含形式的神经网络求解一类不仅带有仿射等式约束而且带有（非光滑）不等式约束的非光滑凸最小值点问题。通过对两个参数的分别控制,证出该网络的轨道有限时间进入可行域并永驻其中。然后,应用反正法,证出该网络的轨道最终收敛于其平衡点集,同时,我们还给出了一个使网络轨道有限时间收敛于其平衡点集的条件。网络的精确性证明更进一步地说明了所构造网络的优越性。其次,构造了一个微分包含形式的神经网络求解一类带有混合约束的非光滑凸鞍点问题。基于前一部分工作的理论及方法,证明了此网络解的全局存在唯一性,收敛性和精确性。3.研究了Rn中两类重要的非光滑非凸优化问题。首先,基于罚函数方法,构造一个仅带有一个参数的网络求解一类既带有仿射等式约束又带有（非光滑）凸不等式约束的非光滑非凸最小值点问题。通过对可行域和参数施加适当的控制,给出了网络解的全局存在性。利用引入弱-单边Lipschitz条件,证明解具有唯一性。通过对参数的控制,使网络的轨道有限时间进入可行域并永驻其中。同时,我们也证出了网络的最终收敛性与精确性。为了提高网络的可行性,给出了使此网络的解恰为其slow解的几个条件。如没有这些结论,则该网络无法在电路,MATLAB或其它数学软件中顺利运行。其次,构造了一个微分包含形式的神经网络求解一类带有混合约束的光滑非凸鞍点问题,不仅给出了网络的收敛性和精确性证明,而且给出了它的一个几何表达。前面三部分所得到的理论与算法,我们都分别通过算例说明了算法的具体实现过程及其算法的有效性。4.研究了Hilbert空间中一类非光滑凸优化问题。构造一个微分包含形式的神经网络求解Hilbert空间中一类带有一系列（非光滑）不等式约束的非光滑凸最小值点问题,在目标函数,可行域及罚参数满足适当的条件时,给出了此网络解的全局存在唯一性,可行域的有限时间到达与不变性和网络的精确性证明。同时给出了网络的一些收敛性结论,特别地,在目标函数的次微分满足强单调条件或优化问题优化解集内部非空的情况下,得到网络的轨道在强拓扑意义下收敛于该优化问题的一个优化解。最后,给出了所构造网络的一个渐进控制结论。
二、局部凸空间中的向量值正则函数（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、局部凸空间中的向量值正则函数（论文提纲范文）
（1）基于神经动力学优化算法的几类非凸优化问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非凸优化问题的神经动力学算法 |
| 1.2.2 复变量优化问题的神经动力学算法 |
| 1.2.3 分布式优化问题的神经动力学算法 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.3.1 符号说明 |
| 1.3.2 微分包含理论 |
| 1.3.3 非光滑分析 |
| 1.3.4 广义凸函数 |
| 1.3.5 图理论及投影算子 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第2章 凸约束下的非光滑非凸优化问题的神经动力学算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 算法描述 |
| 2.3 收敛性分析 |
| 2.4 神经网络模型的几何解释 |
| 2.5 数值实验与应用 |
| 2.5.1 数值实验 |
| 2.5.2 数据校正问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 非凸不等式约束下的非光滑非凸优化问题的神经动力学算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 算法描述 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.4 数值实验与应用 |
| 3.4.1 数值实验 |
| 3.4.2 矩阵条件数优化 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 约束复变量非光滑伪凸优化问题的神经动力学算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 算法描述 |
| 4.3 收敛性分析 |
| 4.4 数值实验与应用 |
| 4.4.1 数值实验 |
| 4.4.2 应用与比较 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 约束分布式非凸优化问题的神经动力学算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 问题描述 |
| 5.3 分布式优化问题的等价偏p-次幂重构 |
| 5.4 算法描述 |
| 5.5 收敛性分析 |
| 5.6 数值实验与应用 |
| 5.6.1 数值实验 |
| 5.6.2 最优布局问题 |
| 5.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（2）切片超复分析的整体理论和多元理论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 背景 |
| 1.2 问题的引入 |
| 1.2.1 黎曼域问题 |
| 1.2.2 多变量弱切片分析理论 |
| 1.2.3 Cayley-Dickson代数的切片正则分析 |
| 1.3 研究方法和主要结果 |
| 1.3.1 切片拓扑与切片开集上的切片正则函数 |
| 1.3.2 延拓定理的反例及道路表示公式 |
| 1.3.3 弱切片锥上的多元弱切片分析 |
| 1.4 创新点 |
| 第2章 单变量切片四元数分析 |
| 2.1 四元数及其切片结构 |
| 2.2 切片正则函数,轴对称域上的表示公式及延拓定理 |
| 2.3 切片拓扑 |
| 2.4 切片开集上的切片正则函数及其唯一性原理 |
| 2.5 延拓定理2.3的反例 |
| 2.6 切片函数 |
| 2.7 延拓定理 |
| 2.8 道路切片函数与道路表示公式 |
| 2.9 切片正则域 |
| 第3章 弱切片锥上的多元弱切片分析 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 变换矩阵 |
| 3.1.2 摩尔-彭若斯广义逆 |
| 3.1.3 复结构 |
| 3.2 弱切片锥 |
| 3.3 弱切片正则函数 |
| 3.4 延拓引理 |
| 3.5 道路表示公式 |
| 3.6 左切片复结构代数上的弱切片分析 |
| 3.6.1 左切片复结构代数 |
| 3.6.2 左切片复结构代数上的弱切片正则函数 |
| 3.7 左交错代数情形 |
| 3.7.1 单实交错*代数变量情形 |
| 3.7.2 单克利福德代数变量情形 |
| 3.8 单个十六元数变量情形 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（3）三类带结构的非凸非光滑优化问题算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文的主要内容及结构 |
| 第2章 可变光滑增量聚合梯度法求解弱凸复合优化问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.2.1 稳定点 |
| 2.2.2 原问题的稳定点 |
| 2.3 可变光滑增量聚合梯度法 |
| 2.4 收敛性分析 |
| 2.5 一种具有提高收敛的逐时算法 |
| 2.6 小结 |
| 第3章 邻近增量聚合梯度法求解大规模非凸非光滑优化问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 邻近增量聚合梯度法 |
| 3.4 收敛性分析 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 小结 |
| 第4章 邻近可变光滑法求解非凸非光滑约束稀疏优化问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 可变光滑邻近梯度法 |
| 4.4 可变光滑邻近增量聚合梯度法 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位发表的论文及其他成果 |
（4）多目标学习与优化理论及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号对照表 |
| 缩略语对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 基于进化多目标优化的机器学习研究进展和现状 |
| 1.2.1 进化多目标机器学习的国内外研究情况 |
| 1.2.2 自步学习的国内外研究情况 |
| 1.3 基于机器学习的多目标优化研究进展和现状 |
| 1.3.1 基于学习的多目标优化的国内外研究情况 |
| 1.3.2 进化多任务优化的国内外研究情况 |
| 1.4 论文的组织结构 |
| 第二章 基于分解多目标优化的自步学习算法 |
| 2.1 相关背景 |
| 2.1.1 基于分解的进化多目标优化 |
| 2.1.2 自步学习的正则化理论 |
| 2.2 基于分解多目标优化的自步学习算法 |
| 2.2.1 多目标模型 |
| 2.2.2 基于步长序列的分解 |
| 2.2.3 多目标粒子群优化 |
| 2.3 实验对比研究 |
| 2.4 本章总结 |
| 第三章 基于改进正则的自步学习算法 |
| 3.1 对数软权重和混合权重方法的相关推导 |
| 3.2 多项式软权重自步正则 |
| 3.3 理论证明 |
| 3.3.1 多项式自步函数满足自步函数定义的三个条件 |
| 3.3.2 自步学习在多项式自步函数下的鲁棒性说明 |
| 3.4 实验对比研究 |
| 3.4.1 动作识别数据集实验 |
| 3.4.2 事件检测数据集实验 |
| 3.5 本章总结 |
| 第四章 基于自步学习的遥感图像变化检测算法 |
| 4.1 基于自步学习的遥感图像变化检测方法 |
| 4.2 基于自步学习的支持向量机相关推导 |
| 4.3 基于自步学习的人工神经网络相关推导 |
| 4.4 实验对比研究 |
| 4.5 本章总结 |
| 第五章 基于多任务学习启发的多目标稀疏优化算法 |
| 5.1 相关背景 |
| 5.1.1 多任务学习，多任务优化与多目标优化 |
| 5.1.2 多任务环境下的多目标优化 |
| 5.2 基于多任务优化的多目标稀疏优化算法 |
| 5.2.1 多任务稀疏重建模型 |
| 5.2.2 表示和初始化 |
| 5.2.3 任务内和任务间的遗传迁移 |
| 5.2.4 个体评价 |
| 5.3 实验对比研究 |
| 5.4 本章总结 |
| 第六章 基于多任务优化的多目标高光谱解混算法 |
| 6.1 相关背景 |
| 6.1.1 混合光谱模型 |
| 6.1.2 稀疏解混模型 |
| 6.2 基于多任务优化的多目标高光谱解混算法 |
| 6.2.1 多目标高光谱解混模型 |
| 6.2.2 多任务环境下的多目标稀疏解混 |
| 6.3 实验对比研究 |
| 6.3.1 模拟数据集实验 |
| 6.3.2 标准数据集实验 |
| 6.4 本章总结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 论文工作总结 |
| 7.2 未来研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）Slice正则函数论（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 常用结论 |
| 第三章 Slice正则函数的几何函数论 |
| 3.1 系数估计 |
| 3.1.1 定义与例子 |
| 3.1.2 slice Caratheodory函数类的系数估计 |
| 3.1.3 Bieberbach猜测 |
| 3.1.4 Fekete-Szego不等式 |
| 3.2 slice正则函数的增长定理和偏差定理 |
| 3.2.1 Rogosinski引理 |
| 3.2.2 slice星形函数的增长定理和偏差定理 |
| 3.2.3 slice星形函数的增长定理的高阶形式 |
| 3.2.4 α次γ型slice螺形函数的增长定理 |
| 3.3 一类交错代数上slice正则函数的增长定理和偏差定理 |
| 3.3.1 预备知识 |
| 3.3.2 正则二次锥上的增长定理和偏差定理 |
| 3.4 Bloch-Landau定理 |
| 3.4.1 Bloch-Landau定理Ⅰ |
| 3.4.2 Bloch-Landau定理Ⅱ |
| 3.4.3 正则凸函数的Bloch-Landau定理 |
| 3.5 半径问题 |
| 3.5.1 Koebe 1/4掩盖定理 |
| 3.5.2 Bohr定理 |
| 3.5.3 Rogosinski定理 |
| 3.6 Bernstein不等式 |
| 3.6.1 Bernstein不等式及其推广 |
| 3.6.2 Erdos-Lax不等式 |
| 3.6.3 关于Erdos-Lax不等式一个反向结果的推广 |
| 3.7 Clifford代数下的Schwarz引理 |
| 3.7.1 预备知识 |
| 3.7.2 slice Clifford分析中的Schwarz引理 |
| 3.7.3 刚性定理 |
| 3.8 Schwarz引理在高维中的其他推广 |
| 3.8.1 预备知识 |
| 3.8.2 多调和函数的Schwarz引理 |
| 第四章 Bloch函数在高维空间中的推广 |
| 4.1 无限维Hilbert空间单位球上的α-Bloch函数 |
| 4.1.1 无限维Hilbert空间单位球上的α-Bloch函数空间的等价性 |
| 4.1.2 定理4.1.3的两个应用 |
| 4.2 正则α-Bloch函数 |
| 4.2.1 正则α-Bloch函数的Hardy-Littlewood定理 |
| 4.2.2 正则α-Bloch函数的对偶空间 |
| 第五章 四元数Hilbert空间中的测不准原理 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 四元数Hilbert空间中的测不准原理 |
| 5.3 四元数自伴算子的测不准原理 |
| 5.4 几个重要例子 |
| 5.4.1 四元数Fock空间上的测不准原理 |
| 5.4.2 四元数周期函数的测不准原理 |
| 5.4.3 四元数Fourier变换的测不准原理 |
| 5.4.4 非调和四元数Fourier变换的测不准原理 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（6）旋转锥互补函数及旋转锥规划内点算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 锥规划的研究现状 |
| 1.2 内点算法的研究现状 |
| 1.3 障碍函数的研究现状 |
| 1.4 旋转锥规划的研究现状 |
| 1.5 本文的研究内容及结构 |
| 1.6 符号说明 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 核函数的定义及常见核函数 |
| 2.2 Jordan代数及向量值函数 |
| 2.2.1 Jordan代数 |
| 2.2.2 向量值函数 |
| 2.3 自协调障碍函数 |
| 2.4 旋转锥的性质 |
| 第三章 旋转锥互补函数 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 新的非线性互补函数 |
| 3.3 旋转锥互补函数 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 旋转锥规划基于核函数的内点算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 旋转锥和二阶锥的代数关系 |
| 4.3 旋转锥规划的对偶理论 |
| 4.4 最优性条件和中心路径 |
| 4.5 算法 |
| 4.6 复杂界分析 |
| 4.7 数值结果 |
| 4.8 本章小结 |
| 第五章 旋转锥规划基于自协调障碍函数的内点算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 旋转锥上的障碍函数 |
| 5.3 自协调障碍函数和中心路径 |
| 5.4 算法 |
| 5.5 复杂界分析 |
| 5.6 数值结果 |
| 5.7 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成及发表的论文 |
| 攻读博士学位期间参加的科研项目 |
| 致谢 |
（7）几类基于微分包含的不连续系统的动力学研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 不连续微分动力系统理论及其应用研究概述 |
| 1.1.1 不连续生物学动力系统的研究历史与现状 |
| 1.1.2 不连续神经网络动力系统的研究历史与现状 |
| 1.2 微分包含理论的历史与发展概况 |
| 1.3 本文的主要内容与结构安排 |
| 第2章 基本理论知识 |
| 2.1 集值映射的基本概念与性质 |
| 2.2 右端不连续微分方程与微分包含解的定义 |
| 2.3 非光滑分析 |
| 2.4 集值映射的拓扑度理论 |
| 2.5 集值映射的不动点理论 |
| 2.6 矩阵分析与矩阵测度理论 |
| 第3章 泛函微分包含基本理论 |
| 3.1 几类重要的不等式 |
| 3.2 泛函微分包含解的初值问题 |
| 3.3 泛函微分包含鲁棒稳定性分析 |
| 3.3.1 扰动意义下泛函微分包含的鲁棒耗散性 |
| 3.3.2 扰动意义下泛函微分包含的鲁棒拟同步性 |
| 第4章 基于微分包含的不连续生物系统的动力学分析 |
| 4.1 模型的建立 |
| 4.1.1 Lotka-Volterra竞争系统 |
| 4.1.2 不连续捕获策略(DHP)的提出 |
| 4.2 有效性与正性 |
| 4.3 正周期解的存在性 |
| 4.4 全局收敛性分析 |
| 4.5 应用与数值例子 |
| 第5章 Filippov微分包含框架内不连续神经网络系统的动力学分析 |
| 5.1 具有不连续激励函数和变时滞细胞神经网络系统的周期动力学行为 |
| 5.1.1 模型介绍 |
| 5.1.2 周期轨的存在性 |
| 5.1.3 周期轨的唯一性与稳定性分析 |
| 5.1.4 输出解与状态解的全局收敛性分析 |
| 5.1.5 数值例子与对比分析 |
| 5.2 具有不连续激励函数的离散与分布时滞神经网络系统的动力学行为 |
| 5.2.1 模型介绍 |
| 5.2.2 周期解的存在性 |
| 5.2.3 全局渐近稳定性 |
| 5.2.4 例子与数值模拟 |
| 5.3 基于忆阻器的双向联想记忆(BAM)神经网络系统的动力学行为 |
| 5.3.1 模型的建立 |
| 5.3.2 全局耗散性 |
| 5.3.3 正周期轨的存在性分析 |
| 5.3.4 例子与数值模拟 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A (攻读学位期间所发表的论文目录) |
（8）超空间上Dirac型方程解的性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 超空间 |
| 1.2 Clifford分析 |
| 1.3 超空间上的Clifford分析 |
| 1.4 本文的主要内容 |
| 第二章 超空间上Dirac方程解及其相关函数的基本性质 |
| 2.1 超空间及其相关定义 |
| 2.2 超空间上Dirac方程解的基本性质 |
| 2.3 超空间上Dirac方程解及其相关函数 |
| 2.4 超空间上高阶Cauchy Pompeiu公式 |
| 第三章 超空间上Dirac型方程解的Almansi型展开(I) 算子复合 |
| 3.1 Almansi展开 |
| 3.2 超空间上 阶Dirac方程解的Almansi型展开 |
| 3.3 超空间上 阶Dirac方程解的Almansi型展开的应用 |
| 第四章 超空间上Dirac型方程解的Almansi型展开(II)–Normalized系 |
| 4.1 Normalized系 |
| 4.2 超空间上Laplace算子的0-normalized系 |
| 4.3 超空间上Laplace算子的0-normalized系的应用 |
| 4.4 超空间上Dirac算子的0-normalized系 |
| 4.5 超空间上Dirac算子的0-normalized系的应用 |
| 第五章 超空间上Dirac型方程解的拟Almansi型展开(III)-T_i 算子 |
| 5.1 T_i算子 |
| 5.2 超空间上 算子的定义及基本性质 |
| 5.3 超空间上 阶Dirac方程解的拟Almansi型展开 |
| 5.4 超空间上 阶Harmonic方程解的拟Almansi型展开 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间的科研成果 |
（9）几类奇异积分算子的性质及应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 绪论 |
| 0.1 研究背景综述 |
| 0.2 Clifford分析中奇异积分算子的研究现状 |
| 0.3 论文的主要结果 |
| 第一章 Cauchy型奇异积分算子和普通积分算子的换序公式 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识及相关定义 |
| 1.3 两个普通积分算子的换序公式 |
| 1.4 Cauchy型奇异积分算子与普通积分算子的换序公式 |
| 第二章 两个Cauchy型奇异积分算子的换序公式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识及相关定义 |
| 2.3 两个Cauchy型奇异积分算子的换序公式 |
| 第三章 普通积分算子和带参变量的Cauchy型奇异积分算子的换序公式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识及相关定义 |
| 3.3 普通积分算子和带参变量的Cauchy型奇异积分算子的换序公式 |
| 第四章 关于一元函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B置换公式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识及相关定义 |
| 4.3 几个弱奇性奇异积分算子的换序公式 |
| 4.4 关于一元函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B置换公式 |
| 第五章 关于二元函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B置换公式 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识及相关定义 |
| 5.3 关十二元函数的Cauchy型奇异积分算子的P-B置换公式 |
| 第六章 R~n空间中一类高阶奇异Teodorescu算子的性质及应用 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 预备知识及相关定义 |
| 6.3 一类高阶奇异Teodorescu算子的基本性质 |
| 6.4 高阶奇异Teodorescu算子关于积分区域边界摄动的稳定性 |
| 6.5 一类高阶奇异Teodorescu算子的应用 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的科研成果 |
| 致谢 |
（10）微分方程与微分包含的神经优化理论与算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景 |
| 1.1.1 神经网络及其在优化计算中的发展回顾 |
| 1.1.2 微分包含及其相关问题的研究 |
| 1.2 文献综述 |
| 1.2.1 二次最小值点问题 |
| 1.2.2 R~n中的非光滑最小值点问题 |
| 1.2.3 Hilbert空间中的最小值点问题 |
| 1.2.4 鞍点问题 |
| 1.3 本文的研究内容，结构与一些记号 |
| 1.3.1 内容与结构 |
| 1.3.2 一些记号 |
| 第2章 R~n中的退化二次凸优化问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 矩阵分析 |
| 2.1.2 投影算子 |
| 2.1.3 微分方程动力系统 |
| 2.2 带有一般线性约束的退化二次凸最小值点问题 |
| 2.2.1 神经网络的建立 |
| 2.2.2 主要结论 |
| 2.2.3 数值仿真 |
| 2.3 带有混合线性约束的退化二次鞍点问题 |
| 2.3.1 神经网络的建立 |
| 2.3.2 主要结论 |
| 2.3.3 无约束退化二次鞍点问题 |
| 2.3.4 数值仿真 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 R~n中的非光滑凸优化问题 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 集值映射与微分包含 |
| 3.1.2 局部Lipschitz函数与次微分 |
| 3.1.3 切锥与法锥 |
| 3.2 非光滑凸最小值点问题 |
| 3.2.1 构造网络 |
| 3.2.2 网络的精确性 |
| 3.2.3 解的全局存在性与唯一性 |
| 3.2.4 收敛性结论 |
| 3.2.5 有限时间收敛到优化解集 |
| 3.2.6 数值仿真 |
| 3.3 带有混合约束的非光滑凸鞍点问题 |
| 3.3.1 构造网络 |
| 3.3.2 主要结论 |
| 3.3.3 数值仿真 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 R~n中的非光滑非凸优化问题 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.1.1 集值映射的几种Lipschitz条件 |
| 4.1.2 最小选择与解存在定理 |
| 4.2 非光滑非凸最小值点问题 |
| 4.2.1 构造网络 |
| 4.2.2 解的全局存在性与唯一性 |
| 4.2.3 收敛性结论 |
| 4.2.4 网络的精确性 |
| 4.2.5 有限时间收敛到临界点集 |
| 4.2.6 网络的几何表达 |
| 4.2.7 数值仿真 |
| 4.3 带有混合约束的光滑非凸鞍点问题 |
| 4.3.1 构造网络 |
| 4.3.2 主要结论 |
| 4.3.3 数值仿真 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 Hilbert空间中的非光滑凸优化问题 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 构造网络 |
| 5.3 主要结论 |
| 5.3.1 解的全局存在性与唯一性 |
| 5.3.2 有限时间收敛于可行域 |
| 5.3.3 网络的精确性 |
| 5.3.4 轨道的收敛性 |
| 5.3.5 渐进控制结果 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间所发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
四、局部凸空间中的向量值正则函数（论文参考文献）
- [1]基于神经动力学优化算法的几类非凸优化问题研究[D]. 刘娜. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [2]切片超复分析的整体理论和多元理论[D]. 窦欣元. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [3]三类带结构的非凸非光滑优化问题算法研究[D]. 刘云程. 四川师范大学, 2021(11)
- [4]多目标学习与优化理论及应用[D]. 李豪. 西安电子科技大学, 2018(07)
- [5]Slice正则函数论[D]. 徐正华. 中国科学技术大学, 2017(09)
- [6]旋转锥互补函数及旋转锥规划内点算法研究[D]. 马鹏飞. 上海大学, 2015(04)
- [7]几类基于微分包含的不连续系统的动力学研究[D]. 蔡佐威. 湖南大学, 2014(02)
- [8]超空间上Dirac型方程解的性质[D]. 袁洪芬. 河北师范大学, 2012(03)
- [9]几类奇异积分算子的性质及应用[D]. 杨贺菊. 河北师范大学, 2010(10)
- [10]微分方程与微分包含的神经优化理论与算法研究[D]. 边伟. 哈尔滨工业大学, 2009(11)